小77文学欣赏 数学大调理表面里程碑阐发：几何朗兰兹意想获证明，论文超800页

选自quantamagazine小77文学欣赏

作家：Erica Klarreich

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历经三十年的勤勉，数学家依然告捷证明了一个名为「朗兰兹摘要（Langlands program）」的雄壮数学愿景的主要部分。

一个由 9 位数学家组成的团队告捷证明了几何朗兰兹意想（Geometric Langlands Conjecture），这是当代数学规模波及规模最广的范式之一。

马克斯・普朗克数学筹商所的著名数学家 Peter Scholze（他并未参与此证明）说：这项证明是三十年艰巨筹商所到达的荒芜。「看到它得到惩处竟然太好了。」

朗兰兹摘要是由罗伯特・朗兰兹（Robert Langlands）在 1960 年代提议的。其是对傅里叶分析的正常泛化，而傅里叶分析是一个影响深刻的框架，可将复杂的波泄露成多个平滑颤动的正弦波。朗兰兹摘要在三个不同的数学规模齐有难熬地位：数论、几何和所谓的函数域（function field）。这三个规模通过一个类比网罗联接在了一齐，而这个网罗也被称为数学的「罗塞塔石碑（Rosetta stone）」。

当今，一系列论文证明了这个罗塞塔石碑的几何栏位的朗兰兹意想：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

德克萨斯州大学奥斯汀分校的 David Ben-Zvi 说：「其它规模还莫得得到过如斯全面和有劲的证明。」

朗兰兹摘要的几何版块的主要前驱之一 Alexander Beilinson 说：「这是秀好意思的数学，最好意思的那一类。」

该证明包含 5 篇论文，加起来高出 800 页。它们来自 Dennis Gaitsgory（马克斯・普朗克筹商所）和 Sam Raskin（耶鲁大学）迷惑的一个团队。

Gaitsgory 往常 30 年来一直悉力于于证明几何朗兰兹意想。这几十年来，他过甚相助者得到了多半筹商后果，并在这些基础上完成了这项证明。格勒诺布尔 - 阿尔卑斯大学的 Vincent Lafforgue 将这些越过比作是「延续升高的海」；他说这就像是 20 世纪凸起数学家亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的筹商精神 —— 通过创造一个延续升高的念念想之海来惩处困难问题。

Dennis Gaitsgory（左图）和 Sam Raskin（右图），他们迷惑的一个九东说念主团队证明了几何朗兰兹意想。

要考据他们的新证色泽果还需要些时日，但许多数学家齐泄露信赖其中枢念念想是正确的。Lafforgue 说：「该表面的里面一致性很好，是以很难信赖它错了。」

在证明之前的几年里，该筹商团队创建了不啻一条通往问题中枢的旅途。「他们得到的领悟是如斯的丰富和正常，以至于他们从扫数标的包围了这个问题。」他说，「它已无路可逃。」

大调理表面

1967 年，时年 30 岁的普林斯顿大学评释罗伯特・朗兰兹在他手写给安德烈・韦伊（André Weil，这个罗塞塔石碑的创立者）的一份 17 页信件中讲解了他的愿景。朗兰兹写到，在这个罗塞塔石碑的数论和函数域栏位上，有可能创造出一种广义版的傅里叶分析，何况其将具有惊东说念主的规模和力量。

在经典的傅里叶分析中，对于两种不同的念念考波图（比如声波）的形状，会使用一种名为傅立叶变换的经过来创造的它们之间的对应关系。在这对应关系的一侧是这些波自己。（咱们称之为波侧 /wave side）。这包括浅陋的正弦波（在声学中便是纯音）以及由多个正弦波组成的复杂波。在这对应关系的另一侧是余弦波的频谱 —— 声学中的音高。（数学家称之为谱侧 /spectral side）。

傅立叶变换便是在这两侧之间走动。在一个方进取，其可将波分解成一组频率；在另一个方进取，则可字据其组成频率重建出波。这种双向变换的才能栽种了数不清的利用 —— 莫得它，咱们就不会领有当代电信、信号处理、磁共振成像或当代生活的许多其它必需品。

朗兰兹提议，罗塞塔石碑的数论和函数域栏位也有类似的变换，只是这里的波和频率齐愈加复杂。

鄙人面的视频中小77文学欣赏，罗格斯大学的数学家 Alex Kontorovich 将带咱们穿过这片数学大陆，了解朗兰兹摘要中枢的令东说念主咋舌的对称性。

幼女强奸

视频起原：https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

在这些栏位中的每一个，齐有一个由一组特殊函数组成的波侧，这些特殊函数类似于访佛的波。这些特殊函数中最纯正的被称为特征函数（eigenfunction），其作用就类似于正弦波。每个特征函数齐有一个特征频率。不外，诚然正弦波的频率是一个数值，但特征函数的频率则是一个无穷的数值列表。

还有谱侧。这由数论中的对象组成；朗兰兹合计这些对象秀美了特征函数的频谱。他提议，存在一种类似于傅立叶变换的处理机制可将这里的波侧与谱侧联接起来。「这件事有点神奇。」Ben-Zvi 说，「这不是咱们莫得任何原理时就能预先揣度的东西。」

波与其频率标签来平稳不疏导的数据规模，因此淌若能证明它们之间的对应关系，必定能带来丰厚的答复。举个例子，在 1990 年代时，一个相对较小的函数集的数论朗兰兹对应的证明就让 Andrew Wiles 和 Richard Taylor 证明了费马大定理 —— 这个问题曾是数学规模最著名的待证明问题之一，数学界依然为此勤勉了三个世纪。

加州大学伯克利分校的 Edward Frenkel 泄露：朗兰兹摘要被视为「数学的大调理表面」。关联词，即便数学家依然勤勉证明了朗兰兹愿景中越来越大的部分，但他们也很明晰这个愿景并不完备。在这块罗塞塔石碑的几何学栏位，波与频率标签的关系似乎无法体现出来。

一粒沙

恰是从朗兰兹的筹商使命运行，数学家对几何朗兰兹对应（geometric Langlands correspondence）的谱侧的神志有了一个想法。韦伊设定的罗塞塔石碑的第三个栏位（几何）波及紧黎曼曲面（compact Riemann surface），包括球面、甜甜圈形曲面以及多孔甜甜圈形曲面。一个给定的黎曼曲面齐有一个对应的对象，称为基本群（fundamental group），其追踪的是环绕曲面的环线的不同形势。

数学家意想，几何朗兰兹对应的谱侧应当由基本群的特定蒸馏形势组成，这些特定的蒸馏形势也被称为基本群的表征（representation）。

淌若要在罗塞塔石碑的几何栏位体现出朗兰兹对应，那么黎曼曲面基本群的每个表征齐应该是一个频率标签 —— 然而什么的频率标签呢？

对于频率似乎秀美了基本群表征的特征函数，数学家找不到任何联接。然后到了 1980 年代，如今赴任于芝加哥大学的 Vladimir Drinfeld 果断到：通过将特征函数替换成名为特征层（eigensheaf）的更复杂对象，有可能创建起几何朗兰兹对应 —— 不外那时候，他只知说念少数特征叠层的构建形状。

层（sheaf）比函数深重许多，因此数论学家那时候不知说念该若何领悟这个朗兰兹对应的几何表亲。但几何朗兰兹摘要（尽管其波侧玄奥难解）相较于数论版块的朗兰兹摘要有着一个大上风。在几何朗兰兹中，特征层的频率由黎曼曲面上的点甘休，球体或甜甜圈上的每个点在近距离看起来相当一样。但在数论朗兰兹中，频率由素数甘休，何况每个素数齐有其独到的性质。伦敦帝国粹院的数论学家 Ana Caraiani 说：数学家不知说念「若何以一种很好的形状从一个素数到另一个素数。」

黎曼曲面在物理学规模具有难熬作用，尤其是在共形场论中，其甘休着亚原子粒子在某些力场中动作。在 1990 年代早期，Beilinson 和 Drinfeld 展示了不错若何使用共形场论来构建某些颠倒好的特征层。

与共形场论这种联接关系让 Beilinson 和 Drinfeld 运行念念考若何为层（sheaf）构建一种傅里叶分析。Ben-Zvi 说：「这就像是激发结晶的一粒沙子。」

Beilinson 和 Drinfeld 提议了一个丰富的愿景，讲解了几何朗兰兹对应理当的使命形状。这不仅是基本群的每个表征齐应该秀美一个特征层的频率。他们合计，这种对应关系也应当尊重两侧的难熬关系，Beilinson 和 Drinfeld 称这种瞻望是「最佳的但愿」。

1990 年代中期，Beilinson 在特拉维夫大学通过一系列讲座先容了这一发展中的筹商图景。Gaitsgory 那时在此读筹商生，勤勉领受其中每句话。他回忆说：「我就像一只刚孵化的小鸭子，得到了一种印随动作。」

尔后的 30 年里，几何朗兰兹意想一直是 Gaitsgory 数学糊口的主要驱能源。他说：「这些年齐在不休地使命，离策画越来越近，拓荒不同的用具。」

高潮之海

Beilinson 和 Drinfeld 只是松散地论说了他们的意想，事实证明他们有点过于简化「最佳的但愿」中的关系理当的使命形状了。2012 年时，Gaitsgory 与威斯康星大学麦迪逊分校的 Dima Arinkin 搞明晰了若何将这「最佳的但愿」酿成一个精确的意想。

之后一年，Gaitsgory 写了一份大纲，讲解了证明几何朗兰兹意想的可能形状。该大纲依赖多半中间论说，其中许多其时齐尚未得到证明。Gaitsgory 过甚相助者运行入辖下手证明它们。

接下来的几年技能里，Gaitsgory 和多伦多大学的 Nick Rozenblyum 写了两本对于层的书，加起来接近 1000 页。在这套两卷本中，几何朗兰兹摘要只被说起了一次。Gaitsgory 说：「但其看法是奠定基础，自后咱们也多半使用到了这些基础。」

2020 年，Gaitsgory 俄顷发现他没什么日程安排了。他说：「我花了三个月技能躺在床上，只是念念考。」这些念念考最终促成了一篇论文（有 6 位作家）。诚然这篇论文专注于朗兰兹摘要的函数域栏位，但其中也包含「一粒种子」—— 这粒种子自后酿成了证明几何朗兰兹意想的要道组件：一种用于领悟特征层若何促进所谓的「白噪声」的智商。

其他七位筹商者的像片。左起顺时针标的：Dario Beraldo、Lin Chen（陈麟）、Kevin Lin、Nick Rozenblyum、Joakim Færgeman、Justin Campbell 和 Dima Arinkin。

在经典的信号处理规模，可由正弦波构建声波，其频率对应于声息中的音高。只是知说念声息包含哪些音高是不够的 —— 还需要知说念每个音高的响度有多大。这些信息让你可将声息写成正弦波的组合形势：只需从幅度为 1 的正弦波运行，然后让正弦波乘以合适的响度因子，再将这些正弦波加在一齐。扫数不同的幅度为 1 的正弦波之和便是咱们常说的「白噪声」。

在几何朗兰兹摘要的寰宇里，特征层的作用就类似于正弦波。Gaitsgory 过甚相助者识别出了一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，其作用似乎就类似于白噪声。但这些筹商者并不明晰能否将每个特征层齐泄露在庞加莱层中，更毋庸说它们是否齐具有疏导的幅度了。

2022 年春，Raskin 与他的筹商生 Joakim Færgeman 展示了若何使用那篇六作家论文中的念念想来证明每个特征层齐照实可泄露在庞加莱层中。Gaitsgory 在谈到对几何朗兰兹意想的证明时说：「在 Sam 的和 Joakim 的论文之后，我很坚信咱们能在短技能内作念到。」

筹商者需要证明，扫数特征层对庞加莱层齐有同等的孝敬，何况基本群表征秀美了这些特征层的频率。他们剖判到，最难的部分是处理这种基本群的表征：不能约表征。

这些不能约表征的惩处决议出现之时，Raskin 的个东说念主生活正一派缭乱。在他与 Færgeman 在网上发布了他们的论文几周后的某天，Raskin 不得不仓猝中地将他怀胎的细君送往病院，然后再回家送男儿第一次去幼儿园。Raskin 的细君在病院住了六周，直到他们的第二个孩子出生。在这段技能里，Raskin 的生活一直在轮轴转 —— 为了保证男儿的正常生活，他无停止地在家、男儿的学校和病院之间走动奔忙。他说：「我那时的全部生活便是车和暄和东说念主。」

他在驾驶途中与 Gaitsgory 打电话探讨数学。在那几周的第一周快落幕时，Raskin 果断到他不错将这个不能约表征问题简化成证明三个其时依然垂手而得的事实。「对我来说，那段技能很神奇。」他说，他的个东说念主生活「充满了对将来的心焦和怯怯。对我来说，数学是一种需要根植（grounding）和冥想的东西，不错让我解脱那种心焦。」

到 2023 年头，Gaitsgory 和 Raskin 以及 Arinkin、Rozenblyum、Færgeman 和其他四名筹商东说念主员一齐，对 Beilinson 和 Drinfeld 的「最佳的但愿」进行了竣工的证明，并由 Gaitsgory 和 Arinkin 进行了校正。（其他筹商者为伦敦大学学院的 Dario Beraldo、清华大学的 Lin Chen（陈麟）、芝加哥大学的 Justin Campbell 和 Kevin Lin。）该团队又用了一年技能将该证明写下来。他们在本年二月份在网上发布了该证明。尽管这些论文罢职 Gaitsgory 在 2013 年制定的大纲，但其中简化了 Gaitsgory 的智商并在许多方面作念出了翻新。Lafforgue 说：「对于这个无与伦比的成立，许多贤达东说念主为此孝敬了许多新想法。」

「他们不单是是证明了它，」Ben-Zvi 说，「他们围绕它拓荒了扫数这个词寰宇。」

更远的海岸

对 Gaitsgory 来说，这个数十年逸想的已毕远非故事的落幕。还有许多进一步的难题有待数学家惩处 —— 更深入地探索其与量子物理学的议论、将该落幕彭胀到带穿孔的黎曼曲面、搞明晰其对罗塞塔石碑的其它栏位的影响。Gaitsgory 在一封电子邮件中写到：「这嗅觉（至少对我来说）更像是凿下了一块大石头，但咱们离中枢依然还很远。」

筹商其它两个栏位的筹商者当今紧急地想要将这个证明转译往常。Ben-Zvi 说：「其中一个主要碎屑得到惩处这一事实应该会对朗兰兹对应的合座筹商产生首要影响。」

但并非扫数东西齐能带往常 —— 举个例子，在数论和函数域建设中，并莫得与共形场论念念想相对应的东西，而共形场论能让筹商者在几何建设中构建起特殊的特征层。在将该证明中的许多东西用于其它栏位之前，还需要一些勤恳的诊疗。伯克利的 Tony Feng 说：咱们还不明晰是否能「将这些念念想调遣到一个正本没想过能使用它们的不同环境中。」

但许多筹商者齐乐不雅地信赖这个高潮的念念想之海最终会漫延到其它规模。Ben-Zvi 说：「它将浸透穿过学科之间的扫数隔断。」

往常十年中，筹商者依然运行发现几何栏位与另外两个栏位之间的议论。「淌若（几何朗兰兹意想）在 10 年前就被告捷证明，那么落幕会大不疏导。」Feng 说，「东说念主们就不会剖判到它的影响可能会拓展到（几何朗兰兹）社区除外。」

在将几何朗兰兹证明转译到函数域栏位方面，Gaitsgory、Raskin 过甚相助者依然取得了一些阐发。（Raskin 泄露说，Gaitsgory 和 Raskin 在后者的长期驾驶途中得到的一些发现「还有待揭示」。）淌若转译告捷，则可能得到一个比数学家之前知说念或以致臆想的还要远远愈加精确的函数域朗兰兹版块。

而从几何栏位到数论栏位的大多数转译齐会经过函数域。但在 2021 年，巴黎 Jussieu 数学筹商所的 Laurent Fargues 和 Scholze 设想了一个所谓的虫洞（wormhole），可将几何栏位的念念想径直带到数论朗兰兹摘要的某一部分。

Scholze 说：「我细则是一个想要转译这些几何朗兰兹证明的东说念主。」筹商到这片高潮之海包含上千页文本，这绝非易事。「我咫尺落伍几篇论文，」Scholze 说，「正在勤勉研读他们在 2010 年阁下的后果。」

当今，几何朗兰兹筹商者终于将他们的长篇论证述诸论文，Caraiani 但愿他们能有更多技能与数论标的的筹商者商量。她说：「东说念主们有着相当不同的念念考问题的形状。淌若他们大概减速脚步，彼此交谈，了解对方的不雅点，那总会有公正的。」她预测说这项新后果的念念路必定会传播到数论规模，这只是个技能问题。

正如 Ben-Zvi 说得那样：「这些落幕是如斯的正经，以至于你一朝运行，就很难再停驻来。」

原文联接：https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/